１から９までの数を８を除いて並べた１２３４５６７９という数は不思議な性質をもっています。ためしに９をかけてみるとそれがわかります。
１２３４５６７９× ９＝１１１１１１１１１
それだけではありません。
１２３４５６７９×１８＝２２２２２２２２２
１２３４５６７９×２７＝３３３３３３３３３
１２３４５６７９×３６＝４４４４４４４４４
１２３４５６７９×４５＝５５５５５５５５５
１２３４５６７９×５４＝６６６６６６６６６
１２３４５６７９×６３＝７７７７７７７７７
１２３４５６７９×７２＝８８８８８８８８８
１２３４５６７９×８１＝９９９９９９９９９
と、かける数を変えることで２から９の数が現れます。
これはあたりまえといえばたりまえです。最初の１１１１１１１１１が求まることがわかれば、
１２３４５６７９×９×ｎ＝１１１１１１１１１×ｎ
のｎに２から９を入れることで他の式は求まります。では最初の１１１１１１１１１になるのは単なる偶然なのでしょうか。
結論を先に書くと、９をかけて１１１１１１１１１と１が９個並ぶようになる数が１２３４５６７９という数が順番にならんでいるようになるのは単なる偶然ではありません。
１１１１１１１１１は１＋１０＋１００＋１０００＋１００００＋１０００００＋１００００００＋１０００００００+１００００００００
と表すことができます。
これを９で割ると、
１／９＋１０／９＋１００／９＋１０００／９＋１００００／９＋１０００００／９＋１００００００／９＋１０００００００／９+１００００００００／９
となるわけですが、計算すると
１／９＝ ０．１１１…
１０／９＝ １．１１１…
１００／９＝ １１．１１１…
１０００／９＝ １１１．１１１…
１００００／９＝ １１１１．１１１…
１０００００／９＝ １１１１１．１１１…
１００００００／９＝ １１１１１１．１１１…
１０００００００／９＝ １１１１１１１．１１１…
１００００００００／９＝ １１１１１１１１．１１１…
となります。
それを足し合わせると、
０．１１１…
１．１１１…
１１．１１１…
１１１．１１１…
１１１１．１１１…
１１１１１．１１１…
１１１１１１．１１１…
１１１１１１１．１１１…
１１１１１１１１．１１１…
これと同様のことは十進数以外の表記でも発生します。
八進数ならば、
１２３４５７×７＝１１１１１１１ （八進数表記）
となります。これに２から７をかければそれぞれの数の並びが得られます。
十六進数だと、
１２３４５６７８９ＡＢＣＤＦ×Ｆ＝１１１１１１１１１１１１１１１ （十六進数表記）
です。この２種類ならば関数電卓などで実際に計算して確かめることもできます。当然ながら、それ以外の任意の進数でも成り立ちます。
十進数を二桁ごとにまとめることで百進数としても成り立つので、
１ ０２ ０３ ０４ ０５…９６ ９７ ９９×９９＝１ ０１ ０１…０１
という計算や、任意の２桁の数を９９個並べることも可能です。
（２０１１．２．１８）
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