二次元の世界

ブルーバックスがら「二次元の世界」という本がでている。二次元世界の住人を主人公にした話で、次元に関する解説書になっている。今回は、その手法を借用して、二次元世界の住人からみた「メビウスの輪」を解説してみたいと思う。メビウスの輪は、紙テープなどを一回捻ってから輪にしたもので、表と裏の区別が無く、テープに沿って２つに切ろうとすると１つの大きな輪になるといった不思議な性質をもっている。

紙の表面に住んでいる二次元の住人がいたとしよう。紙の表面に沿っては移動できるが、紙から飛び上がったり、紙にもぐったりはできない。それ以前に紙があることを感じることもないだろう。
この住人を紙テープの上に移したとしよう。そうすると今までは縦横に自由に動けていたのが、紙テープの幅より先には行けなくなる。二次元の道というかトンネルのように感じるだろうか。道にそっては進めるが、道からは出られない。
そして紙テープを輪にしてみよう。メビウスの輪ではなく普通の輪だ。そうすると紙テープに沿ってまっすぐどんどん進むといつの間にか元の位置に戻ってきてしまう。輪になっているのだから当然だが、二次元の住人にとってはそうではない。なぜなら二次元の住人は三次元方向に紙が曲がっているのを感じることができないはずだからだ。
どうしてかというと、例えば平らな紙の表面にかいた三角形の内角の和は１８０度になるが、その紙を曲げたとしても１８０度のままで変化しない。これは、紙の表面での位置関係は変らないからだ。だから、紙の表面だけからの情報では、その紙が曲っていることはわからないはずだ。

まっすぐな道にいると感じられるのに、まっすぐにどんどん進むと元の位置に戻って来てしまうのだから不思議に感じるだろう。
しかし、この二次元の住人がある程度の知性を持っていれば、この道がなんらかの方法で円になっていると推理できるのではないだろうか。それは、二次元の平らな世界でもどんどん進むと元の位置に戻ってきてしまう道を作ることが出来るからだ。
陸上のトラックのような丸くカーブしている道もどんどん進めば元の位置に戻ってしまう。

二次元の輪と三角形の二次元人

さて、ここで輪の１箇所を捻ってから再び貼り付けて、輪をメビウスの輪にするとどうなるだろう。今までと同じ距離を進んでも、元の位置には戻らない。三次元的に見れば、元の位置の裏側にいるわけだが二次元的にはそれはわからない。そしてさらに同じ距離を進んで、やっともとの位置に戻ってくる。今までの倍の距離で元に戻ってくるのだから、大きさが２倍になったと考えられる。実際には表と裏の両方を通るようになったためだが、二次元の住人にとっては、まっすぐな道の長さが倍になったと感じられる。輪の大きさが倍になったのと、メビウスの輪になったのを区別する方法は、二次元的にはない。

次に、紙の表面ではなく、紙自体を二次元の世界と考えてみよう。普通の輪の場合は紙の表面の場合と変わらないが、メビウスの輪の場合はおもしろいことになる。輪をまわって元の位置に帰ってくると裏返ってしまうのだ。もし、実際に確かめて見たい人は、トレーシングペーパーなどの紙を使って作ったテープを２枚重ねたものでメビウスの輪を作って、２枚の紙の間に適当な紙で作った二次元人を入れて動かすといいだろう。この場合、二枚の紙の間を二次元の世界と考える。
二次元の住人から見れば、世界がひっくり返ったように感じるだろう。まるで鏡に映った世界のように、左右が反転している。
そして、もう一回メビウスの輪をまわれば元にもどる。


トレーシングペーパーで作ったメビウスの輪。中に見える三角が二次元人。		一周すると裏返ってしまう。

(２００１．５．６)

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