四次元の世界

二次元、三次元ときて今回は四次元です。といっても話の内容は、あいかわらずの二次元と三次元です。うまくいけば、四次元の世界を垣間見ることが出来るかもしれません。
さて、まずは２次元のメビウスの輪を一周するとどうなるでしょう。そんなことはもう「二次元の世界」で書きましたが、二次元の住人の立場でもう一度考えてみましょう。
下の図を見てください。メビウスの輪と二次元の住人、そして彼のたどったコースがかいてあります。ぐるっと１周してきてもそのままみたいです。メビウスの輪じゃなくて普通の輪みたいです。
これは、入り口と出口がくっついている部分にメビウスの輪のねじれがあるためです。そして、ねじれの部分を通らないからそのままなんですね。

メビウスの輪に挑む二次元人

だから、別の場所から入って一周するとちゃんと裏返ります。下の図は、別の場所に入り口をつけて、そこから入った二次元の住人です。さっきの出入り口の部分を通る時にひっくり返ります。

別の場所からメビウスの輪に挑んだ二次元人

さて、ここでもう一つのメビウスの輪の表記の仕方を使って考えてみましょう。下の図は、一部を拡大したものですが、他の部分は普通の輪と同じなので考える必要はないためです。図をかくのが楽だっていうのも理由の一つですが。

メビウスの輪に挑む二次元人２

メビウスの輪の中を通っている二次元人。左側の壁に沿って進んでいきます。するとどうしたことでしょうか、輪の外側に出てしまいました。メビウスの輪は内側と外側が繋がっているのでしょうか。

外側に出てしまった二次元人

それでは、もう一回やってみましょう。同じように左側の壁に沿って進みます。あれあれ、今回は外側に出ませんでした。そのかわりにぐるっとひっくり返ってしまいました。
同じように左側の壁に沿って進んだはずなのにどうしたことでしょう。
ちゃんと左側に沿ってないじゃないかと思う人もいるかもしれません。でも、頭を三次元に戻してみましょう。真ん中のくびれた部分は輪がねじれているためで、そのねじれに沿って進めば下の図のように進むことになります。

ひっくり返ってしまった二次元人

二次元の世界は線で区切ることが出来ます。そして、線の右側と左側、別の言い方をすればこっち側と向こう側を、行ったり来たりするには線に穴をあける必要があります。
でも、三次元の住人なら、線をまたいで向こうに行くこともできます。鉄棒をぐるぐる回るように、線に手を触れたまま、こっち側から向こう側に行くことも出来ます。右側や左側、そして上側や下側に行くこともできます。
そして三次元の空間のうち、どこを二次元の世界と定義するかによって二次元の住人の移動する範囲は決まります。メビウスの輪の場合は、ねじれた輪に沿って二次元の世界が定義されていると考えられるので、輪に沿って移動して、ひっくり返る方が定義に沿った考え方ではないでしょうか。

さて、ここでメビウスの輪をクラインの壷に置き換えて考えたらどうなるでしょう。そして二次元は三次元、三次元は四次元に置き換えます。
下の図も、二次元の道ではなくて三次元のトンネルだと考えてください。左側の壁に手をついて進んで行くと、どうなるでしょうか。
外側に出てしまう方は割とイメージするのが楽だと思います。クラインの壷は内側と外側が繋がっているというわけです。
では、ぐるっとひっくり返ってしまう方はどうでしょう。左側に手をついていたはずが、右側になってしまうように見えますが、これはどう説明すればいいでしょうか。
図をみると三角形の二次元人がひっくり返ってます。メビウスの輪の場合は、輪のねじれを通ったために上下が逆になり、左右が反転したわけですが、クラインの壷でも同じように考えられます。
ひっくり返ってしまう、と言っても上下ではなく、第四の次元の向きが逆になるわけです。そうすると鏡にうつった姿のように左右が逆になります。鏡にうつった姿は、必ずしも左右が逆になるというわけではないのは「鏡よ鏡」に書きましたが、上下と前後を合わせた場合に左右が逆になったと解釈できるのも、そこで書いた通りです。
左手で壁にさわっている姿は、鏡の中では右手で壁にさわっている姿になります。左手が右手になってしまいました。
でも、鏡の中の人物にとっては左手は左手で、変わったのは自分ではなくて周りの世界だと感じられるでしょう。
クラインの壷の場合も同じで、左手を壁につけて１周すると、その本人にとっては左手は左手のままでずっと壁についていて、それを他の人から見れば、１週した時には、右手が壁についているわけです。つまりクラインの壷を回ってきた人は左右が逆になっています。
クラインの壷を１周すると、左右が逆になってしまうのでは、例えクラインの壷が出来たとしても、試しに入ってみるのを考えてしまいます。
まあ、人の外見は左右対称に近いので、見た目はあまり変わらないでしょうが、本人にとっては周囲の世界の左右が逆でとまどうでしょうね。ホテルやマンションでは、部屋によって、左右の間取りが逆になっていることがあるので、そういった元の部屋と左右が逆の部屋に住めば多少は落ち着くかな。でも、そのままでは御飯がおいしくないと思うので、もう一度クラインの壷を１周して元に戻ることをおすすめします。


クラインの壷から出てしまった	今度はひっくり返ってしまった

三次元の世界は二次元の面である壁で区切ることが出来ます。そして、壁のこっちから向こうに行くためには壁に穴をあける必要があります。
でも四次元の世界の住人がいたら、壁をまたいで向こうに行くこともできるはずです。壁に手を触れたまま、こっちと向こう側、そして第四の次元のプラス側やマイナス側にいくことも出来るでしょう。三次元の住人が、鉄棒をするように、鉄の壁を握ってさかあがりをすることも出来るのではないでしょうか。まあ、誰でも逆上がりが出来るわけではないだろうし、四次元の小学校では放課後に校庭にある鉄壁で逆上がりの練習をする子供がいるのかもしれません。
壁の、ある部分のこっち側と向こう側を同時に触ることが出来るというのも、イメージするのが難しいですが、こっち側と向こう側だけではなくて、三次元の住人が鉄棒の周りをぐるっと握るように、壁の周りををぐるっと握るなんて想像できますか。

（２００１．６．１８）

（２００３．１０．１４追加）「二次元の世界」にも書きましたが、講談社のブルーバックスから「二次元の世界」という本が出ていました。今は絶版になっているみたいなんですが、復刊ドットコムというところで復刊のリクエストをまとめています。だいぶ前に読んだんで、内容はあまり覚えていないんですが、ぜひもう一度読みたいと思っています。このページが面白いと思った人なら読んで損はないとおもいます。

復刊ドットコムの「二次元の世界」復刊リクエストへのリンク

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