三次元の世界
さて、二次元の話に引き続いては三次元の話。二次元の世界における「メビウスの輪」のような物を三次元で考えることもでき、
「クラインの壷」と呼ばれています。どんなものかは下の図を見てください。たいていの本などにのっているのは、こんな感じの物だと
思います。
メビウスの輪が細長いテープ状の物を、表と裏が逆になるように１回ねじってくっつけた物であるのに対して、
クラインの壷はパイプ状の物を内側と外側が逆になるように１回ねじってくっつけた物とされています。しかし、メビウスの輪を実現
するには二次元の平面では無理で、ひとつ上の次元である三次元が必要であるのと同じように、クラインの壷を実現するには四次元が
必要になります。それを、無理やりに三次元で実現しようとしたものが下の図です。正確に言えば、三次元で表現しようとしたものを
二次元の図にしたものですが、図を見て実際の形を思い浮かべることが出来れば同じでしょう。
メビウスの「輪」に対してクラインの「壷」なのは壷みたいに見えるからでしょうか。輪をそのまま三次元に拡張すれば
ドーナツのような形になると思うのですが、トポロジーという考え方では一部がふくらんでいようが同じ物として扱うので、
壷みたいなっていても関係ないのかな。ドーナツや、例えばコーヒーカップなんかもトポロジー的には同じでトーラスと呼ばれる
物です。
あ、取っ手の形が変わっているコーヒーカップは違う物もありますね。一般的なというか、取っ手が輪になってるコーヒーカップは
ドーナツ、いや違ったトーラスです。
クラインの壷
しかし、上の図のような一般的なクラインの壷の図以外にも表現の仕方はあると思うんですよね。一般的な図ではパイプの一部に
穴をあけることにより、パイプの端の外側ともう一方の端の内側をくっつけています。
では、別の表現の仕方とはどんなものが考えられるでしょうか。いきなりやるのは難しいのでまず二次元でメビウスの輪を実現する
方法を考えてみたいと思います。
まず、二次元で帯を表現します。下の図がそうです。三次元では紙テープなどを使いますが、紙テープを使うと中を通れないので、
紙テープのふちだけを線で書いてます。ＡＢＣＤと書いてあるのは場所を説明するためです。
二次元の帯
それでは、まず普通の輪を作ってみましょう。線を曲げてＡとＣ、それからＢとＤをそれぞれくっつけます。そうやって出来た物が
下の図です。内側のＡとＣをつなげた円の方が小さくなってます。でも、トポロジー的には同じなのでこれでいいとしましょう。
普通の輪
それでは、次にメビウスの輪に挑戦しましょう。二次元では帯をひっくり返すことが出来ないのですが、さっきとはつなぎ方を変えて、
ＡとＤ、ＢとＣをつなげばいいんです。でも、そのままでは無理なので、途中に穴をあけてつないでみたのが下の図です。
なんか見たことがあると思った人はするどいです。クラインの壷に似ているんですね。似ているどころかクラインの壷の断面図と
言っても通用します。
メビウスの帯と一つ次元を上げたクラインの壷をそれぞれ二次元と三次元で実現したのだから似ていても
当然とも言えます。おそらく二次元の住人が考えるメビウスの輪というのも、下の図と同じようなものでしょう。
しかし、三次元の住人としては他の方法でかくことも出来るのではないでしょうか。
二次元で表現したメビウスの輪
さて、下の図が別の方法でかいたメビウスの輪です。上の図と同じようにＡとＤ、ＢとＣがつながっています。見ればわかるように
途中で線を交差させています。
これじゃあ中を通ることは出来ませんが、そんなのは上の図でも同じです。しかし、この表現の方が、輪の一部をひっくり返した
感じがでているのではないでしょうか。
実際のメビウスの輪でひねってある部分が、二次元では線が交差するように表現されています。それでは、これをふまえて
クラインの壷を考えてみましょう。
二次元で表現したメビウスの輪その２
下の図が、別の方法で表現をしたクラインの壷です。実際に紙を使って作りました。紙で作ったので円筒形のパイプではなく
四角い断面のパイプを使って輪にしたと思ってください。例によってトポロジー的には同じなんですという言い訳をしておきます。
手前の部分で、つぶれている部分が四次元的にひねってあるところです。
ところで、こういうクラインの壷を使って考えると、クラインの壷の特徴の一つとして言われている内側と外側がつながっているという
考えが一部否定されることになります。
具体的にどういうことかというのは次回の「四次元の世界」で説明する予定です。二次元、三次元、四次元の３部作になってしまい
ました。なんか、スタートレックの映画を思い出させます。あれも、２，３，４とで３部作だったんです。
クラインの壷その２
（２００１．５．２７）
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