無限に関して考えるときりが無い。きりがあったら有限になってしまうが、無限に書き続けるわけにもいかないので、きりのいい所まで書いてみよう。
無限大には普通の計算の法則は適用できない。例えば無限大に１を足しても無限大。２倍にしても、１０分の１にしてもやはり無限大だ。無限大に無限大を掛けてもやはり無限大だ。こんな不思議な現象を式の形にしてみた。
∞＋１＝∞
∞×２＝∞
∞÷１０＝∞
∞×∞＝∞
そうすると無限大というのは一種類しか無いように思えるが、そうではないらしい。
まず、０，１，２、３……という自然数の集まりを考える。この集まり、つまり自然数の集合の中身は無限になる。次にその集合から偶数だけを取り出すと、０、２、４……となる。これもまた無限の集まりになる。
この偶数の自然数の集合は、自然数の集合の中に含まれる。部分集合というやつだ。部分集合はもとの集合よりも小さいので、その点では自然数で偶数の集合は、自然数の集合よりも小さいということができる。
しかし、お互いに共通点が無い集合もある。そういう場合にも比べることのできる方法として一対一対応というものがある。つまり、昔の紅白歌合戦の採点のように、赤い玉と白い玉を一つづつ出していって、どちらかが最初に終れば、そっちが少ないことがわかるというものだ。
この方法でさっきの２つの集合を比べると、どちらもきりがないので同じということになってしまう。自然数だけではなくてマイナスの数までを含めた整数の集合にしても同じだし、分数も含めた有理数の集合とも同じになる。
ところが、無理数まで含めた集合と比べると同じにはならない。なぜそうなるのかを説明するのは難しいが、無理数と自然数を一対一対応させようとしてもできないことは証明されている。
そして、自然数や整数の集合のような無限のことを可付番無限、実数の集合のような無限を連続無限という。可付番無限をアレフ０、連続無限をアレフ１ともいう。この無限の種類が違うことを無限の濃度が違うという。
それでは、アレフ１よりも濃度の濃いアレフ２とかアレフ３なんてのもあるのだろうか。
答を言えばあるのだが、アレフ０やアレフ１のように、この集合がアレフ２だとか３だといえる物は特にない。少なくとも今のところ見つかっていない。
それでもあると言えるのは、濃度の低い無限を使って濃度の高い無限を作ることが出来るからだ。例えば２のアレフ０乗したものはアレフ１になる。∞の記号の後ろの括弧に入っている数字で無限の濃度を表して式にすればこんな感じだ。
２∞(0)＝∞(1)
別に２のアレフ０乗ではなく、３でも４でもいいのだが、この方法を使えば無限の濃度を変えることが出来る。同様にしてアレフ２や３もつくることが出来る。
２∞(1)＝∞(2)
２∞(2)＝∞(3)
それでは逆に、アレフ０よりも濃度の薄い無限というのは無いのだろうか。無限の濃度を変える方法を使えば、濃度を濃くするだけでなく、薄くすることもできるはずだ。何乗とかいう冪乗の逆の計算を行うには対数というものを使う。ｌｏｇという書き方をすることが多い。アレフ１の対数をとるというのを式で書くと下のようになる。
ｌｏｇ2∞(1)＝∞(0)
ｌｏｇの横の小さい数字は対数の底といって、これが２の場合は２の何乗を逆にするという意味で、３なら３の何乗の逆ということになる。
さて、それではアレフ０の対数をとったら何になるだろう。
ｌｏｇ2∞(0)＝？
これもまた無限のはずだが、アレフ０よりも濃度の低い無限ということになる。何かこの無限に対応する具体的なものがあるのかというと、下にある図のような、Ｙ＝１／Ｘのグラフの曲線と、Ｘ軸、Ｙ軸で囲まれる部分の面積がそうで、同じ濃度の無限になる。
同じようにして、どんどん濃度の低い無限を作ることができるが、どこまでいってもやはり無限なのだろうか。どこかで有限になるというのも考えにくいが、限りなく、つまり無限に濃度を薄くしてもやはり無限というのも不思議な気がする。
（２００４．９．６）