無限についてまた書いてみよう。前回は自然数などの無限のアレフゼロよりも、無理数などの無限であるアレフワンが多くなるということを説明せずに済ませたが、今回はそれから始めたい。
対角線論法という方法を使うと、自然数と無理数が一対一対応できないことが証明できる。その為にはまず、自然数と無理数を一対一対応させてみる。無理数を表すのには少数を使う。無理数なので小数点以下どこまでも続くが、書ききれないので省略して「…」で表す。
１：０．１０００００００００…
２：０．０１００００００００…
３：０．１１００００００００…
４：０．００１０００００００…
５：０．１０１０００００００…
６：０．０１１０００００００…
７：０．１１１０００００００…
８：０．０００１００００００…
９：０．１００１００００００…
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と、上記のようにどんどん対応させていく。無理数を表記している小数は２進法を使っているので０と１しか出てこない。２進法を知らない場合は深く考えずに、たまたま０と１だけを使っていると考えても大丈夫。
そして、どんどん対応させて、左側の自然数と右側の無理数をすべて対応できたとする。どちらも無限にあるのでどこまでも対応させることも出来て、これで問題ないように思える。
ところが、新しい無理数Ａを考えて、その小数点以下１桁目は１番目の無理数の小数点以下１桁目と違う数字にする。この場合は１なので０にする。同じように、２桁目は２番目の無理数の小数点以下２桁目と違う数字にする。そして３桁目は３番目の３桁目、というようにどんどん続ける。そうして出来た新しい数Ａは、どの無理数ともどこかの桁で違うのだから、すべて対応させたはずの無理数から、新しい無理数が出来てしまったわけだ。
そして、その新しい無理数も対応させたとしても、また同じようにして新しい無理数をいくらでも作り出すことが出来てしまう。
つまり、自然数と無理数を一対一対応させることは出来ない。そして、無理数の方が多いということが説明できた。以上が対角線論法というわけだ。
Ａ：０．００１１１１１１１…
１：０．１０００００００００…
２：０．０１００００００００…
３：０．１１００００００００…
４：０．００１０００００００…
５：０．１０１０００００００…
６：０．０１１０００００００…
７：０．１１１０００００００…
８：０．０００１００００００…
９：０．１００１００００００…
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さて、次は自然数と自然数を対応させてみよう。同じ物を対応させてもしょうがないので、片方は２進数にしてみる。まあ２進数じゃなくてたまたま０と１を使っていると考えてもかまわないのは無理数の時と同様。
無理数の時とよく似ている。実は、小数点以下の桁を左右ひっくり返しただけだ。無理数の場合は小数点以下がどこまでも続くのを省略して「…」で表記したが、今回は上の桁を省略した。
１：…０００００００００１
２：…００００００００１０
３：…００００００００１１
４：…０００００００１００
５：…０００００００１０１
６：…０００００００１１０
７：…０００００００１１１
８：…００００００１０００
９：…００００００１００１
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それでは、ここでも対角線を使って新しい数をつくってみることにしよう。最初の桁は１番目の数と１桁目と違う数字にする。そして２桁目は２番目の２桁目と違う数字にする。そして、同じようにどんどん続ける。そうして出来た新しい自然数をＢとすると、それはどの自然数ともどこかの桁で違うのだから、全て対応させたはずの自然数から新しい自然数が出来てしまったわけだ。
そして、もしその新しい自然数も対応させたとしても、また同じようにして新しい無理数を作り出すことが出来てしまう。つまり、自然数と自然数を一対一対応させることは出来ない。そして、２進数で表記した自然数の方が多いということが説明できた。
Ｂ：…１１１１１１１１００
１：…０００００００００１
２：…００００００００１０
３：…００００００００１１
４：…０００００００１００
５：…０００００００１０１
６：…０００００００１１０
７：…０００００００１１１
８：…００００００１０００
９：…００００００１００１
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だが、同じ物である自然数と自然数を、一対一対応させることが出来ないという結論はおかしい。いったいどこがおかしいのだろうか。
まず、対角線論法に間違いがないかを疑う必要があるが、とりあえず問題ないとしておく。次に、２進数で表記したことによる問題は無いだろうか。
しかし、何進法で表記しても中身というか、その表記によって表される意味は変らないはずだ。それに、２進法ではなく１０進法で考えた場合も対角線論法を使うことは出来るので、同じ問題は発生する。
あとは桁数が無限に続くと考えたことだが、無限の数を表記するには無限の数が必要になるはずだ。例えば２進法で３桁の場合は最大７まで表記することができる。ｎ桁の場合は、最大で２ｎ−１までの数が表記できる。１０進法なら１０ｎ−１
になる。
そうすると無限の桁で表記することのできる数というのは、２∞−１までになる。これは、前回に書いた、自然数の集合などのアレフゼロを使って、無理数の集合などのアレフワンを作り出す方法と同じだ。
２∞(0)＝∞(1)
正確には１を引いているのが違うが、無限大から１を引いてもやはり無限大というのは前回説明した通り。
ということは、自然数を表記するのに無限の桁数を使ってはいけないということになる。無限の、正確にはアレフゼロの桁数を使って表記できる数はアレフワンになってしまうからだ。
それでは、無限の桁数ではないとすれば、有限の桁数なのだろうか。自然数のようなアレフゼロしかない数を表記するのには有限の桁数でいいということになる。でも有限の桁数で表せるのはやはり有限の数だろう。
どうもおかしな結論になってしまった。ここで問題を整理してみたい。
１．自然数の集合の無限は、アレフゼロである。
２．自然数を無限の桁を使って表記すると考えると、その数はアレフワンになる。
３．つまり、自然数を表記するのには無限の桁を使ってはいけない。
４．無限の桁を使わないとすると有限の桁になるが、有限の桁で表せる数は有限である。
５．全ての自然数を有限の桁で表記できるとした場合、自然数の集合は有限である。
６．自然数の集合は有限である。
１の前提が正しく、６の結論が間違っていると考えられるが、さて２から５のどこがおかしいのだろうか。
（２００４．９．２６）
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