無限のステップ３

カントール集合というものがある。カントールをいうのは昔の数学者で、自然数の集合などの可附番無限と、線に含まれる点の集合などの連続無限とは濃度が違う無限であるということを証明した。他にも直線に含まれる点と、平面に含まれる点の数は同じ濃度の無限で、さらに立体に含まれる点のように次元を上げて行っても濃度が変わらないことなども証明した。
そのカントールの考えたカントール集合は、まずある長さの直線から真ん中３分の１を取り除いて、その残りの線の真ん中３分の１を取り除き、そのまた残りの線の真ん中３分の１を取り除いたもの、というのを無限に続けた残りの集まりのこと。図で示すと以下のような感じになる。ブラウザによっては少しすきまがあるように見えるのだが、そこは繋がっているものとして考えてほしい。

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このカントール集合は、もとの線全部を構成する点の集合と同じ濃度を持っている。つまりアレフワンということだ。その証明法の一つとして、もとの線に含まれる点を３進数で表した場合、そこから１が含まれる数を取り除いたものがカントール集合になるから、それをもとの線に含まれる点を２進数で表したものと１対１対応させることが出来るというものがある。実際にやってみると以下のようになる。

元の直線（３進数）　カントール集合　　元の直線（２進数）
０００　　　　　　　０００　　　　　　０００
００１
００２　　　　　　　００２　　　　　　００１
０１０
０１１
０１２
０２０　　　　　　　０２０　　　　　　０１０
０２１
０２２　　　　　　　０２２　　　　　　０１１
１００
１０１
１０２
１１０
１１１
１１２
１２０
１２１
１２２
２００　　　　　　　２００　　　　　　１００
２０１
２０２　　　　　　　２０２　　　　　　１０１
２１０
２１１
２１２
２２０　　　　　　　２２０　　　　　　１１０
２２１
２２２　　　　　　　２２２　　　　　　１１１

カントール集合の２を１にすれば、それは元の直線に含まれる点を２進数表記したものと同じになる。そして、もとの線に含まれる点を３進数表記したものと、２進数表記したものは、同じ物を表記したものなのだから、それが１対１対応できるのは当然と言っていい。
しかし、直線に含まれる点というのは並べきることが出来ないはずだ。前回説明した対角線論法は、並べきることが出来ないから数えられる無限アレフゼロよりも濃度が濃いということの証明になるのだから。それなのに、並べきれないはずのアレフワンの点並べて１対１対応すれば証明になるというのは不思議な気がする。
不思議なことと言えば、このカントール集合に含まれる点を並べた場合の長さもそうだ。３分の１を取り除けば、長さは最初の長さの３分の２になり、それを繰り返すことでどんどん小さくなり、無限に続けた結果は長さ０になる。

さて、今度は３分の１ではなく２分の１を取り除いてみたものを考えてみよう。

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この場合でも、元の線に含まれる点と、無限回２分の１を取り去った残りを１対１対応させることが出来る。この場合は４進数と２進数を使えばいい。そうすると元の線に含まれる点と、無限に２分の１を取り去った残りに含まれる点を１対１対応させることができる。無限に２分の１をとりさるということは、点の数も無限に２分の１をかけたになるわけだが、それでも１対１対応できるということだ。
ところで、無限に２分の１をかけるというのはどういうことかというと、２分の１の無限乗をかけるということで、つまり２の無限乗で割るというのと同じだ。

１／２×１／２×１／２×１／２…　＝　（１／２）^∞　＝　１／２^∞

２の無限乗というのは前々回にも出てきた。これを使うと元の無限よりも濃度が濃くなるというものだ。そして、今回の場合２分の１を無限にかけるの無限はアレフゼロなので、２のアレフゼロ乗ということでアレフワンになる。つまり無限に２分の１をかけるということはアレフワンで割るのと同じことになる。
線に含まれる点の数はアレフワンなので、それをアレフワンで割った結果がアレフワンということだ。無限／無限＝無限という不思議なことになるが、無限を使った計算は有限の計算とは違うのは前々回にも説明した通りなので、そういう意味ではおかしいというほどのことは無い。
しかし、２をアレフゼロ回掛け合わせたものはアレフワンになるのに、アレフワンを２で割っていってもアレフワンのままなのは、やはり不思議だ。
べき乗を使って、アレフゼロからアレフワンに行くことは出来ても、アレフワンからアレフゼロに戻ることはできないのだろうか。無限のステップは進んだら戻れないのだろうか…。

（２００５．１０．１０）

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